声音的产生
人们在很早的时候就发现，当一个固体物质受到撞击时会产生声音的现象。另外，在一定条件下，声音能带给耳朵一种愉悦的感觉，就叫作音乐。这些都是在有历史记录以前很久都被发现的了。当然，也包括在适当条件下，那些来自人的口中的，或者周围的空气，或一个合适形状的管子的声音。但是音乐作为太平盛世的一种艺术，我们从可得到的记载上得知，它的自然性开始通过科学的方式进行检查。我们常常认为最早研究乐器声音的起源的希腊哲学家是Pythagoras在公元前6世纪的发现。当把两根拉直的弦在底部扎牢时，高音的音符是从短的弦那里发出的；并且，如果一根弦是另一根的两倍长，比较短的能发出高于长的一个高度和音。依据Pythagoras的学校的希腊哲学家们，例如活跃于公元前375年前后，意大利南部城市Tarentum的Archytas,的观点，他认为音调以某种方式依赖于声源物体的振动频率，而这个观点看起来似乎已相当清晰。关于这个观点，一段相当清楚的描述也能在公元后6世纪罗马哲学家Boethias的著作中找到。关于这段关系的现代科学的基本依据，通常需要去参考伽利略的论述。作者继续描述了一个物体的振动能引起另一个有一定距离物体的相似的振动这种共振现象。他重新审视了这个关于振动弦的音调与长度关系并表达观点认为这种关系的物理量可以从每个单位时间振动的次数里找到，那就是我们现在常说的频率。他声称他的观点通过两种观察实验可证实。第一个是把一个玻璃酒杯放在一个大容器里，底部固定，装满水直到杯的边缘，用手指摩擦玻璃酒杯的边缘，酒杯会产生振动并发出声音。同时，还可以观察到水的表面产生了波纹。
那时，玻璃杯中传出的乐音偶尔会产生八度和音，水中的涟漪被分成两部分。那就是，我们现在称的波长减半。第二个观察实验来自于一次偶然事件，他试图用铁凿刮去铜盘里的杂质，一会儿后，刮擦声会伴随着带清晰乐章的笛声出现。在这种情况下，他能发现在铜的表面会产生两条等距离平行的长条纹。他还可以进一步注意到，随着刮擦速度的提高，笛声的音调也跟着提高。此时，条纹的间距变小了。 伽利略指出，他能在凿子刮擦的音调的帮助下给小型拨弦钢琴调音，同时发现，当人耳把两根弦之间的音程判断分成五等份时，用来校音的铜盘底由于刮擦而留下的两条波纹线的平均间隔为3：2。仔细读伽利略的著作能清楚意识到，他清楚地理解到弦的振动频率依赖于弦的长度，紧绷度和密度，尽管他的许多知识毫无疑问来自于他的前辈。他做了一个关于弦与钟摆的振动的有趣比较，试图清楚地得出为什么合适的频率--那就是，那些两个小整数比率的频率--出现在我们的耳朵时能结合成愉悦的声音，而别的不合适的声音会不一致。伽利略通过不同长度的钟摆沿着同一个轴线摆动，在同一个水平面观察，用眼睛测量得出（至少他的眼睛看出来了）它们的频率近似地相等，结构形状复杂的单摆除外。我们必须承认这是通过基本分析而得出的运动学上的伟大发现。
如同所有其他的历史一样，人们要铭记科学发展的历史，很大程度上取决于历史学家。毫无疑问，伽利略在声学方面的成就已经受到了质疑。Clifford Truesdelli在他关于弹性力学的详尽历史描述中，夸大了伽利略对振动机械学的贡献。他指出，当伽利略第一次偶然地连贯地相通这个问题时，大多数关于振动的实验结果在《对话》里才第一次出现了，尽管伽利略的著作中关于机械学的研究数据来源于17世纪前。同时,一些研究人员显然开始接近伽利略曾激动表述过的基本想法。法国人Isaac Beeckman (1588-1637)显然曾经深入研究过弦的振动，并且早在1618年就发表了他的研究结果。在论文中，他证明了他关于基频和谐频之间关系的想法，并给出了它的特征参数。通常他被誉为将Rene Descartes的理论应用于物理学研究的先驱者。法国圣方济会的Marin Mersenne (1588-1648)进行了更为详细的研究。Mersenne于1625年发表了他由观察伸展弦的振动而得到的结论。在他的论文中，他认识到在其他条件不变的情况下，振动谐频与弦长成反比，而与横截面积的平方根成正比。因此Truesdell认为Mersenne明确地证明了Galileo关于弦振动的重要结论。
稍后的研究者，如虎克 (1635-1703)，他的弹性定律在物理学上广为人知，试图通过将小齿轮运行于纸板边缘来将振动谐频和基频联系起来，这个实验在今天的普通教科书上都有描述。
毫无疑问彻底解决谐频和基频关系的是法国人Joseph Sauveur (1653-1716)。可以认为是他第一个使声学成为声的科学的人。众所周知声学这个词来源于希腊语，它的意思是听见，尽管现代声学已经超出了人耳所能听到的声音，但它在一定程度上仍是恰当的。Sauveur意识到当两个基频稍有不同的风琴管一起发声时产生的节拍的重要性，并且用人耳听起来相差半音-如频率比为15/16-的两个风琴i管来计算基频。通过实验他发现当同时发声时，风琴管一秒中有六个节拍。他假设这个数据是两个风琴管的频率差，由此Sauveur得到了后面的两个数据，90和96 cps。Sauveur也作了弦的实验，1700年他通过测量下垂中点，并通过某种不确定的方法算出了一个给定的伸展弦的频率。
由于英国数学家泰勒的努力，我们第一次可以给出振动弦的严格动态解。尽管他只处理了一个特殊情况，并且显然无法将他的处理方法应用于普通弦的所有振动模式，因为他缺乏微积分的部分衍生知识，但是他为更巧妙的数学技巧开辟了道路。
图 1.1 伽利略 ( Galileo Galilei,1564—1642) 图 1.2 泰勒（ Brook Taylor ， 1685-1731 ）
我们注意到，可以将弦振动看作声源从而重新以物理学的观点来看待这个问题，伸展弦可以部分振动以至于在某些Sauveur所称的波节的中间点处，没有位移产生，而具有强烈位移的某些中间点称为波腹，这主要是由英格兰的John Wallis (1616-1703)和法国的Sauveur发现。很快我们发现这种与之相应的振动的频率高于那些没有波节的弦的简单振动，而且实际上这些频率是简单振动频率的整数倍。Sauveur称相关的发声为简谐音，而与简单振动相关的声音称为基本音。这些称法（从1700年左右起）一直沿用至今。Sauveur指出了另外一个重要事实，振动弦可以同时以它的几种简谐频率发声。Daniel 贝奴力在他为柏林皇家学会作的著名报告中给出了这种现象的动态解。在论文中他指出多数简单谐振动幅值同时出现的弦振动是有可能的，而且每个幅值都单独作用以形成合成的幅值，弦上任一点在任意时刻的位移等于与之相关联的各种简单简谐振动模式的代数和。由此他提出了著名的小振幅同时存在定理，并涉及到了重叠定理。贝奴力试图给出定理的证明，但没有成功。因为他对数学的理解并不像他对物理问题的理解那样深刻。重叠定理的实际重要性几乎是在同一时间由欧拉发现的：即由部分差分方程决定的理想无摩擦弦的位移是线性的。在这种思想下，重叠定理可以作为定理来证明。
从18世纪中叶直到1785年，整个弦振动的历史包含了一系列天才研究者们的辩论，如贝奴力，欧拉和d'Alembert互相在论文中激烈的争论。他们非常严谨的对待自己的研究，然而不幸的是他们毫不犹豫的使用粗鲁的言辞诽谤对方。这是一个需要用数学来描述连续介质位移的时代，所以使声学成为一门真正的科学的基本理论正在产生，而且这项工作并不容易。优秀论文总是试图解释一些令人烦恼的问题，不过正如当时的伟大科学家们经常犯一些严重错误一样，他们在讨论和论文中都一致认为这些问题是困难的。写出任何专业函数的可能性--例如，由重叠定理的提示用正弦和余弦的无穷级数来表示振动弦的初始形状--在18世纪中叶的数学水平下是很困难的。只有到了1822年傅里叶在他的热分析理论中，提出了对声学发展具有巨大价值的序列扩展理论，上述问题才变的有可能解决。
你无法想象的到，振动弦如此重要以至于它吸引了所有18世纪的著名学者。他们也对其他的声音产生方式感兴趣。例如，拉格朗日在1759年的论文中，有关于风琴管和通常的管乐器产生的声音的处理研究。由于已经知道基本的实验情况，拉格朗日能够从理论上预测出关闭和开启的风琴管的大致简谐频率。边界条件使问题变得有些麻烦，实际上现在也是这样。在任何情形下，这种类型的问题只需进一步稍加处理就非常接近声音的产生方式。在这里我们要指出欧拉在这个领域也作出了重大贡献；这也是在最近才发现这些贡献的重要性。关于管道的意义的本质特征的研究实际上已经达到现在的水平。需要指出的是，这项成果要远早于拉格朗日的工作。当时欧拉对乐器如笛子特别感兴趣。大概在1759年，欧拉和拉格朗日作了关于管道中声音幅值问题的研究，而且很多方面他们都是一致的。1766年左右，欧拉发表了一篇关于流体力学的优秀论文，其中的第四部分全部是有关管道中的声波的。今天的我们不得不感谢那个时代的那些如同机械般精确的数学大脑为发现和解决这些难题所付出的热忱。可以毫不夸张地称这个时代是数学物理的黄金时代。
欧拉（Euler ，1707-1783 ） 瑞利勋爵 ( Lord Rayleigh, 1842-1919 )
当然18世纪的数学家们也注意到除了弦以外的其他固体受到扰动后也会发声。例如他们很熟悉钟，而且积累了大量那个时代关于这类声源的经验知识。幸运的是，这个问题早已由虎克以最简单的形式解决了，他在1660年宣布了他的定理，把固体在弹性变形范围内的压力与变形联系了起来，即在所谓的弹性范围内，弹性体（例如对于线性杆或棒随着长度增加元段也增加）的变形与压力（如杆或棒在拉伸方向上单位面积上的受力）直接成正比。这个定理成了包括弹性振动产生声音的弹性数学理论的基础。以各种方式支撑和夹紧的棒的振动的应用早在1734－1735年就由欧拉和贝奴力研究过了。稍后在瑞利的《声学理论》中他将数学方法系统化并扩展了。基本的思想起源于对变形的棒的能量的描述，以及所谓的多元化方法，这导致了著名的空间导数第四定律的出现。
关于声音产生的剩下的历史，从很大程度上来说就是电声学的发展，瑞利和他的继承者们对此作出的巨大的贡献，本来应该留在了本章的末尾予以介绍的。但是，我们不应该忽视众多重要的发声器中的一种--也就是让人类说话的嗓音和低等动物发出的声音。这是一个很奇怪的现象，尽管这些声音的发生器都是显而易见的，但是在上述的声学研究的发展史中却极少受到关注。或者这么说更准确些：是人类的语言没有能够激发起那些只关心声音是如何产生的数学家和物理学家们的兴趣。正是这么明显的语言发音现象可能正是因为缺乏吸引力，使得那些科学家们只去研究声音发生的物理因素了。总之，看来语音似乎还是更贴近语言，因此那也只是那些语言学者和词源学范畴而已了。
同时，人类发音问题很大程度上都被看作是解剖学家和生理学家的事情。无论如何，值得指出的是，早在1629年，英国人W.Babington就通过镜子的反光观察了声带的运动。这个成为了口腔镜的前身，并于1857年由捷克物理学家J.N.Czermac将其完善。又过了80年，Bell电话实验室的D.W.Farnsworth制作了声带的电影。
